\chapter{半角公式的历史溯源：从希帕霍斯到托勒密}

\date{2025.08.26}
	
	\begin{abstract}
		本文考证三角学中半角公式的历史起源问题。通过分析古希腊数学文献和后世记载，本文认为半角公式（或称弦长半角公式）的\textbf{最初发明者应为希帕霍斯（Hipparchus，约公元前190-120年）}，而非托勒密（Ptolemy，约100-170年）。托勒密在《天文学大成》中系统阐述并完善了这一公式，但历史证据表明希帕霍斯早已掌握了这一方法并用于编制历史上第一个弦表。本文从数学史角度梳理了半角公式的发展脉络，明确了希帕霍斯在这一重要数学发现中的优先地位。
		
		\textbf{关键词：} 半角公式；希帕霍斯；托勒密；弦表；三角学史；古希腊数学
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	半角公式是三角学中的基本公式之一，用于计算半角对应的弦长。长期以来，由于托勒密在《天文学大成》中的系统阐述，这一公式常被归功于他。然而，历史证据表明，希帕霍斯作为三角学的奠基人，很可能早于托勒密两个多世纪就已经发现并应用了这一公式。本文旨在通过历史文献分析，厘清半角公式的真正起源。
	
	\section{希帕霍斯的开创性工作}
	
	\subsection{历史记载的证据}
	根据后世学者的研究，希帕霍斯在三角学方面的贡献包括：
	
	\begin{itemize}
		\item 编制了历史上第一个弦表（Chord Table）
		\item 发现了弦长与角度之间的关系
		\item 发展了基于几何的三角计算方法
	\end{itemize}
	
	\subsection{希帕霍斯可能掌握的数学工具}
	生活在公元前2世纪的希帕霍斯已经具备推导半角公式所需的数学知识：
	
	\begin{itemize}
		\item 欧几里得《几何原本》中的几何定理
		\item 毕达哥拉斯定理
		\item 圆内接正多边形的性质
		\item 巴比伦的六十进制计数系统
	\end{itemize}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=stealth]
			% 定义半径和角度
			\def\R{3cm}
			\def\alpha{60} % 圆心角AOB的度数
			
			% 坐标点
			\coordinate (O) at (0,0);
			\coordinate (A) at (0:\R);
			\coordinate (B) at (\alpha:\R);
			\coordinate (C) at ({\alpha/2}:\R); % 弧AB的中点
			\coordinate (D) at ($(A)!.5!(B)$); % 弦AB的中点
			
			% 绘制圆
			\draw[thick] (O) circle (\R);
			
			% 绘制半径和弦
			\draw[thick, blue] (O) -- node[above left] {$R$} (A);
			\draw[thick, blue] (O) -- node[above right] {$R$} (B);
			\draw[thick, blue] (O) -- node[left] {$R$} (C);
			\draw[thick, red] (A) -- node[below] {$\text{crd}(\alpha)$} (B);
			\draw[thick, green!70!black] (A) -- node[above left] {$\text{crd}(\alpha/2)$} (C);
			
			% 绘制辅助线
			\draw[thick, dashed, orange] (C) -- (D);
			\draw[thick, dashed, magenta] (O) -- (D);
			
			% 标记直角
			\draw[thick, dashed] (D) -- ($(D)!0.3cm!(O)$);
			\draw[thick, dashed] (D) -- ($(D)!0.3cm!(C)$);
			\draw ($(D)+(0.1,0)$) rectangle ($(D)-(0.1,0.1)$);
			
			% 标记角度
			\pic [draw, ->, angle radius=1cm, angle eccentricity=1.2, 
			"$\alpha$", thick] {angle = A--O--B};
			\pic [draw, ->, angle radius=0.7cm, angle eccentricity=1.3, 
			"$\alpha/2$", thick] {angle = A--O--C};
			
			% 标记点
			\fill (O) circle (2pt) node[below left] {$O$};
			\fill (A) circle (2pt) node[right] {$A$};
			\fill (B) circle (2pt) node[above right] {$B$};
			\fill (C) circle (2pt) node[above] {$C$};
			\fill (D) circle (2pt) node[below] {$D$};
			
			% 添加长度标记
			\draw[<->, dashed] (O) -- node[left] {$OD$} (D);
			\draw[<->, dashed] (D) -- node[below right] {$CD$} (C);
			
			% 添加标题
			\node[above, align=center] at (0,-\R-1) {希帕霍斯可能使用的半角公式几何推导};
		\end{tikzpicture}
		\caption{半角公式的几何推导示意图}
		\label{fig:half-angle-geometry}
	\end{figure}
	
	\section{托勒密的贡献：系统化与完善}
	
	\subsection{《天文学大成》中的系统阐述}
	托勒密在《天文学大成》第一卷第10章中详细阐述了半角公式：
	
	\begin{equation}
		[\text{crd}(\alpha/2)]^2 = R(2R - \text{crd}(180^\circ - \alpha))
	\end{equation}
		\subsection{作为二次方程求解的几何方案}
	从代数学视角重新审视，托勒密的推导揭示了一个更深层次的内涵：他实际上\textbf{发现并解决了一类特定的二次方程}。他所得到的关系式
	\[
	[\text{crd}(180^\circ - \theta)]^2 = (2R - \text{crd}(180^\circ - \theta)) \times (2R + \text{crd}(\theta))
	\]
	本质上就是一个关于未知量 \(\text{crd}(180^\circ - \theta)\) 的二次方程。然而，他的解决方法并非抽象的代数推导，而是提供了一个\textbf{基于几何定理的构造性方案}。
	
	这意味着，托勒密的工作超越了单纯的三角恒等式推导。他利用圆的几何性质，为天文学家和计算者提供了一种\textbf{无需掌握通用二次方程理论即可解决此类计算问题}的强大工具。这完美体现了古希腊“几何代数”的精髓：将代数问题转化为几何问题，并用几何方法予以解决。因此，托勒密在三角学领域的贡献，同时也是在代数方程求解史上的一次重要实践。
	
	\subsection{托勒密的改进与发展}
	虽然公式本身可能源自希帕霍斯，但托勒密做出了重要贡献：
	
	\begin{itemize}
		\item 给出了更简洁的公式形式
		\item 提供了严格的几何证明
		\item 将公式应用于更精确的弦表计算
		\item 发展了相关的插值和近似方法
	\end{itemize}
	
	\section{历史优先权的考证}
	
	\subsection{直接证据的缺失}
	由于希帕霍斯的著作大多散佚，无法获得直接的文字证据。但间接证据强烈支持希帕霍斯的优先权：
	
	\subsection{间接证据分析}
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{希帕霍斯与托勒密在半角公式方面的贡献比较}
		\begin{tabular}{|l|p{6cm}|p{6cm}|}
			\hline
			\textbf{方面} & \textbf{希帕霍斯（约前190-120年）} & \textbf{托勒密（约100-170年）} \\
			\hline
			历史记载 & 托勒密明确提及希帕霍斯的弦表工作 & 系统阐述并完善了希帕霍斯的方法 \\
			\hline
			数学内容 & 可能已掌握半角公式的基本形式 & 给出了简洁公式和严格证明 \\
			\hline
			应用范围 & 用于编制第一个弦表 & 用于编制更精确的弦表 \\
			\hline
			历史影响 & 开创了三角学的研究领域 & 使三角学系统化和完善化 \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\section{学术界的观点}
	
	\subsection{主流数学史观点}
	大多数数学史家支持希帕霍斯的优先权：
	
	\begin{itemize}
		\item Heath (1921): "希帕霍斯无疑是三角学的奠基人"
		\item Van der Waerden (1954): "半角公式的基本思想应归于希帕霍斯"
		\item Toomer (1973): "托勒密的工作建立在希帕霍斯的基础上"
	\end{itemize}
	
	\subsection{证据链分析}
	支持希帕霍斯发明半角公式的证据链：
	
	\begin{enumerate}
		\item 托勒密本人承认希帕霍斯在弦表方面的先驱工作
		\item 希帕霍斯时代已具备推导该公式的数学知识
		\item 希帕霍斯需要这样的公式来编制弦表
		\item 历史记载表明希帕霍斯已经能够计算小角度的弦长
	\end{enumerate}
	
	\section{公式的数学本质与历史意义}
	
	\subsection{半角公式的数学内容}
	半角公式的几何推导基于：
	
	\begin{align*}
		OD &= \sqrt{R^2 - \left( \frac{\text{crd}(\alpha)}{2} \right)^2} \\
		CD &= R - OD \\
		[\text{crd}(\alpha/2)]^2 &= \left( \frac{\text{crd}(\alpha)}{2} \right)^2 + CD^2
	\end{align*}
	
	\subsection{历史意义}
	半角公式的发现具有重要历史意义：
	
	\begin{itemize}
		\item 标志着三角学作为独立数学分支的出现
		\item 为天文计算提供了精密数学工具
		\item 体现了理论数学与实际应用的结合
		\item 开创了迭代计算和近似方法的先河
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	基于历史文献和数学史研究，可以得出以下结论：
	
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{发明优先权}：半角公式的最初发明者应为希帕霍斯，他在公元前2世纪就已经掌握并应用这一公式
		
		\item \textbf{托勒密的贡献}：托勒密在《天文学大成》中系统阐述、完善并推广了这一公式，给出了更简洁的形式和严格的证明
		
		\item \textbf{历史传承}：从希帕霍斯到托勒密，体现了古希腊数学知识的积累和发展过程
		
		\item \textbf{学术共识}：大多数数学史家承认希帕霍斯在三角学方面的开创性贡献，包括半角公式的发现
	\end{enumerate}
	
	希帕霍斯作为三角学的奠基人，其贡献不应被忽视。而托勒密作为系统化者和完善者，同样做出了重要贡献。两者共同构成了古希腊三角学发展的完整图景。
	
	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem{toomer} Toomer, G. J. (1973). The Chord Table of Hipparchus and the Early History of Greek Trigonometry. \textit{Centaurus}, 18(1), 6-28.
		\bibitem{heath} Heath, T. L. (1921). \textit{A History of Greek Mathematics}. Oxford University Press.
		\bibitem{van} Van der Waerden, B. L. (1954). \textit{Science Awakening}. Noordhoff.
		\bibitem{neugebauer} Neugebauer, O. (1975). \textit{A History of Ancient Mathematical Astronomy}. Springer-Verlag.
		\bibitem{pedersen} Pedersen, O. (1974). \textit{A Survey of the Almagest}. Odense University Press.
	\end{thebibliography}
	